第六章 集合
6.1 基本概念
集合是什么？
集合是由一些能够明确区分的对象构成的整体。
集合的数学表示~
集合一般用大写英文字母表示, 构成集合的对象称为元素, 一般用小写字母表示.
元素与集合之间存在"属于"基本关系, 如果一个元素在集合中, 那么就称这个元素属于该集合, 反之则不属于该集合.
以上说的集合和属于关系都是基本概念, 也就是不能由其它概念来定义的概念, 其它概念在基础概念的基础上进行定义,.
可以将基本概念类比于公理, 而定理则是由公理推理证明得到的.
由基本概念直接或间接定义的概念称为派生概念.
概念可以表示为对象集合, 比如集合和属于都分别是一个对象, 属于概念, 在对象集合上可以定义运算和关系, 形成研究对象的论域.
运算则是将单元或多元指定类型的对象映射为单元对象的一种对应关系, 关系就是一种映射.
在一般情况下, 论域可以定义为一个抽象系统.
光说抽象可能不是很能理解, 抽象有点像一种概括, 比如可以把苹果, 梨等抽象为水果, 这个过程就是一种抽象, 而抽象系统则是为抽象添加了特定规则, 比如哪些元素抽象为个体, 哪些元素抽象为函词, 哪些元素抽象为谓词.
定义 6.1.1 论域
论域是一个数学系统, 记为\(D = <S, F, R>\), 简记为\(D\). 它由三部分组成:
- 一个非空对象集合\(S\), 每个对象也称为个体;
- 一个关于\(D\)的函词集合\(F\);
- 一个关于\(D\)的谓词集合\(R\).
函词就是一个从个体到个体的映射关系, 如果是从单个体到单个体为一元函词, 多个体到单个体为多元函词, 由于函词本身是一种关系, 一种函数, 不存在一对多的情况. 谓词是一种描述个体性质的词, 它有时可以用关系来描述.
在论域上, 我们可以研究对象性质(谓词), 运算性质(函词), 关系性质(谓词, 函词)以及定理.
若\(Q\)为前提, \(R\)为结论. 如果\(Q\)成立, 则\(R\)成立, 即为一个定理.
集合表示法
集合有两种表示方法, 枚举法和抽象法. 其中枚举法也称外延法, 抽象法也称内涵法.
枚举法直观上就是把集合的元素一一列举出来表示, 比如\(A = {1, 2, 3}\), 这里集合\(A\)的表示就用了枚举法.
而抽象法则是对于集合里面的元素进行一种抽象, 描述一种集合元素的共有属性, 来简介描述集合内的全体元素. 比如 \(Z = {x | x 是整数}\) , 这里的集合\(Z\)的表示就用了抽象法, 表示的是全体整数组成的集合, 由于全体整数是无穷多的, 显然无法使用枚举法表示.
抽象法的规范表示可以总结为,
6.2 集合运算
集合运算有如下几种
定义 6.2.1 并运算
设\(A, B\)为二集合, 称由\(A\)和\(B\)的所有元素组成的集合为\(A\)与\(B\)的并集, 记作